Baricentro de um triângulo - Geometria Analítica- 3º Ensino Médio

O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro.

Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas.

Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C) e baricentro G(x_G, y_G).

As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por:


Exemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7), B(5, 3) e C(2, 2).

Solução: Vamos calcular as coordenadas do Baricentro do triângulo separadamente, para não haver confusão no entendimento da fórmula, que é muito simples.
Sabemos que:

Portanto, o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(3, 4).

Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice B do triângulo ABC sabendo que seu baricentro tem coordenadas G(5, 8) e que os outros dois vértices são A(5, 8) e C(7, 6).

Solução: Como conhecemos as coordenadas do baricentro do triângulo e as coordenadas de dois vértices, vamos utilizar a fórmula para a determinação do baricentro para determinar as coordenadas de B.

Segue que:


Temos também que:

Portanto, o vértice B tem coordenadas B(3, 10).

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

Estudo das Frações- 5ª Série A

• Leia o texto abaixo, em seguida, responda as atividades de 1 a 9.
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• Tenha um ótimo trabalho!

Estudo das frações

O símbolo a/b significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:
a/b de fração;
a de numerador;
b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:
A fração 8/2 é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b ?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.


Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...
1/2 um meio
2/5 dois quintos
1/3 um terço
4/7 quatro sétimos
1/4 um quarto
7/8 sete oitavos
1/5 um quinto
15/9 quinze nonos
1/6 um sexto
1/10 um décimo
1/7 um sétimo
1/100 um centésimo
1/8 um oitavo
1/1000 um milésimo
1/9 um nono

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 2/4, 3/8
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador: 8/2, 9/7
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 3/9, 4/16

Atividades tiradas do livro: Matemática: Fazendo a diferença - Bonjorno e Ayrton; Matemática e realidade - Gelson Lezzi; Para saber Matemática - Luíz Cavalcante.

Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Publicas - 5º Série A

1. Alvimar pagou uma compra de R$ 3,50 com uma nota de

R$ 5,00 e recebeu o troco em moedas de R$ 0,25. Quantas

moedas ele recebeu?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

2. Cláudia inverteu as posições de dois algarismos vizinhos

no número 682479 e obteve um número menor. Quais foram

esses algarismos?

A) 6 e 8

B) 8 e 2

C) 2 e 4

D) 4 e 7

E) 7 e 9

3. Uma fi la tem 21 pessoas, incluindo Samuel e Elisa. Há

9 pessoas atrás de Samuel e 6 na frente de Elisa. Quantas

pessoas há entre Samuel e Elisa?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

4. Qual é o resultado de 2 + 4 × 8 − 4 ÷ 2 ?

A) 9

B) 12

C) 22

D) 32

E) 46

O que podemos construir com tijolos, além de casas?

• Faça a leitura do texto abaixo com atenção:

A Matemática é a Ciência que estuda os movimentos quantitativos e das formas do Universo. Para os movimentos quantitativos se desenvolveu a linguagem numérica. Para as formas do

Universo, criou-se a linguagem geométrica. A Geometria surgiu quando o homem tentou lidar com as formas da natureza, buscando representá-las simbolicamente. Já a Geometria Espacial começa quando o homem produz o tijolo (ou os blocos de pedra) usados em construções. É quando ele descobre aspectos da natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o espaço e a sua grandeza, o volume. Foi na Grécia Antiga (do século V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre eles Pitágoras (570 a.C. a 480 a.C.), iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento lógico da linguagem geométrica.

1. O espaço
É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos geométricos no espaço.

Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de pontos. Nesse espaço consideram-se trêsdimensões: comprimento, altura e largura.

Figura 1

2. O ponto
O espaço é formado por uma infinidade de pontos (Figura 1, ao lado). Um ponto não tem dimensões.

Para lembrar:

Se tomarmos um ponto P do espaço, diremos que por este ponto passam infinitas retas: é a radiação de retas que passa pelo ponto P.

3. A reta
A reta é uma extensão de uma única dimensão. Ela só tem comprimento e, por definição, não tem largura, nem altura.

•	A reta é determinada por dois pontos distintos e também por dois planos que se cortam. Por exemplo, pelos pontos S e T do espaço passa uma única reta, que é r (Figura 2, abaixo).

Figura 2

Assim, dois vértices consecutivos de um cubo, por exemplo, E e F, determinam uma aresta e a reta que a contém (Figura 3, abaixo).

Figura 3

4. O plano
Três pontos não-alinhados no espaço determinam um plano.

O plano também se verifica em:

•	Duas retas paralelas.
•	Duas retas que se cortam.
•	Uma reta e um ponto não-pertencente a ela.

Dado um plano no espaço, existem infinitos pontos que pertencem a ele.

Para lembrar:

Os pontos que pertencem a um mesmo plano chamam-se coplanares.

Existem também infinitos pontos que não pertencem ao plano.

Os pontos R, S e T, por exemplo, pertencem ao plano ; os pontos A, B, C e D não. Os pontos R,S e T são coplanares (Figura 4, abaixo).

Figura 4

Geralmente, os planos são descritos expressando-se 3 de seus pontos não-alinhados A, B e C, ou com uma letra grega:,,(Figura 5, abaixo).

Uma reta pertence a um plano se todos os pontos dessa reta estão no plano. Se duas retas pertencem ao mesmo plano, diremos que são coplanares.

Figura 5

Exemplo:

As retas r e s pertencem ao plano ; r e s são coplanares. As retas t e v não pertencem ao plano (Figura 6, abaixo):

Figura 6

Propriedades do plano:

Quando um pedreiro está colocando ladrilhos num piso, coloca uma régua sobre dois pontos que estão num plano horizontal. Ele verifica essa horizontalidade com um nível de bolha (Figura 7, abaixo). Depois, vai colocando ladrilhos de modo que encostem na régua e, assim, garante que fiquem num plano horizontal. O pedreiro está aplicando uma propriedade característica do plano:

Se uma reta tem dois pontos num plano, ela está toda contida no plano.

Figura 7

•	Qualquer reta que esteja contida num plano o divide em dois semiplanos (Figura 8, abaixo):

Figura 8

5. Classificação das linhas
No espaço, duas retas podem estar em três posições distintas, como mostra a Figura 9, abaixo. Assim:

•	Retas concorrentes: cortam-se num ponto.
•	Retas reversas: não têm nenhum ponto em comum e estão situadas em planos distintos.
•	Retas paralelas: não têm nenhum ponto em comum e estão situadas no mesmo plano.

Figura 9

Observe, agora, o prisma da Figura 10, abaixo. Nesse prisma, consideramos as retas que formam arestas. Cada face do prisma representa um plano. Assim:

•	As retas z e o estão no mesmo plano e são paralelas.
•	As retas z e x estão no mesmo plano e são concorrentes (perpendiculares).
•	As retas z e v não estão no mesmo plano. São, portanto, reversas.

Figura 10

6. Posições relativas de reta e plano
Uma reta pode pertencer a um plano. Caso contrário, pode ser paralela ou concorrente.

É paralela se a reta e o plano não têm nenhum ponto em comum. É concorrente se plano e reta têm um ponto em comum.

Exemplo:

•	A reta r pertence ao plano .
•	A reta t é paralela ao plano .
•	A reta s é concorrente ao plano .
•	A reta u é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto P.

Veja a representação deste exemplo na Figura 11, abaixo:

Figura 11

Para lembrar:

Figura 12

Se tomarmos um ponto P exterior a uma reta, podemos traçar por ele apenas uma perpendicular a esta reta (Figura 12).

Ao contrário, podem-se traçar por um ponto P de uma reta infinitas perpendiculares a esta reta (Figura 13, abaixo):

Figura 13

7. Posições relativas de dois planos no espaço
Dois planos no espaço podem ser: coincidentes, paralelos ou concorrentes. São coincidentes se estão no mesmo plano; são paralelos se não têm nenhum ponto em comum; e são concorrentes se têm uma reta em comum.

Exemplo:

•	Os planos e , da Figura 14, abaixo, são coincidentes.
•	Os planos esão paralelos.
•	Os planos esão concorrentes.

Figura 14

8. Ângulo diedro
Se observarmos dois planos concorrentes, veremos que se formam quatro semiplanos.

Cada uma dessas quatro porções do espaço é um ângulo diedro.

Figura 15

Cada semiplano chama-se face e a reta de interseção das faces do diedro recebe o nome de aresta (Figura 15).

9.Volume
É a medida que nos indica o espaço ocupado por um corpo.

Exemplo:

Se tomarmos um cubo de 1 cm de aresta, diremos que o volume que ocupa é 1 cm cúbico e o indicamos por 1 cm³ (Figura 16, abaixo):

Figura 16

Um corpo construído com as mesmas peças que o outro ocupa o mesmo volume, embora possa assumir uma forma distinta, como indica a Figura 17, abaixo:

Texto retirado do site www.klickeducacao.com.br para pesquisa e estudo dos alunos do 2º ano do Ensino Médio.